同次変換行列をまとめる - モノトーンの伝説日記

　まとめておく。

概要

最初に
平行移動 (translation)
拡大縮小 (scaling)
任意軸周り回転 (rotation)
せん断 (skew)
まとめ

1. 最初に

　Direct3D で使われている“左手座標系”で記述。行ベクトルを用いる。つまり、

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} x' & y' & z' & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x & y & z & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} P & A & B & 0 \\ C & Q & D & 0 \\ E & F & R & 0 \\ X & Y & Z & 1 \end{matrix} \right]$

という式になる。ここにおける 4x4 行列を順に列挙していく。

2. 平行移動 (translation)

(X, Y, Z) 分平行移動

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ X & Y & Z & 1 \end{matrix} \right]$

3. 拡大縮小 (scaling)

(P, Q, R) 倍ずつ拡大

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} P & 0 & 0 & 0 \\ 0 & Q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

3.1. (K, L, M) を中心に拡大縮小

(K, L, M) を中心に (P, Q, R) 倍ずつ拡大

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} P & 0 & 0 & 0 \\ 0 & Q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R & 0 \\ K \left( 1 - P \right) & L \left( 1 - Q \right) & M \left( 1 - R \right) & 1 \end{matrix} \right]$

なお、[(-K, -L, -M) 平行移動][拡大縮小][(K, L, M) 平行移動] で求められる。

4. 任意軸周り回転 (rotation)

単位ベクトル V=(X, Y, Z) を軸に R [rad] 回転

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} X^2 \left( 1 - \cos{R} \right) + \cos{R} & XY \left( 1 - \cos{R} \right) + Z \sin{R} & XZ \left( 1 - \cos{R} \right) - Y \sin{R} & 0 \\ XY \left( 1 - \cos{R} \right) - Z \sin{R} & Y^2 \left( 1 - \cos{R} \right) + \cos{R} & YZ \left( 1 - \cos{R} \right) + X \sin{R} & 0 \\ XZ \left( 1 - \cos{R} \right) + Y \sin{R} & YZ \left( 1 - \cos{R} \right) - X \sin{R} & Z^2 \left( 1 - \cos{R} \right) + \cos{R} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

4.1. X 軸周り回転

V=(1, 0, 0) のとき、

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{R} & \sin{R} & 0 \\ 0 & - \sin{R} & \cos{R} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

4.1.1. X 軸対称

R=π のとき、

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

4.2. Y 軸周り回転

V=(0, 1, 0) のとき、

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} \cos{R} & 0 & \sin{R} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \sin{R} & 0 & \cos{R} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

4.2.1. Y 軸対象

R=π のとき、

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

4.3. Z 軸周り回転

V=(0, 0, 1) のとき、

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} \cos{R} & \sin{R} & 0 & 0 \\ - \sin{R} & \cos{R} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

4.3.1. Z 軸対称

R=π のとき、

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

4.4. 任意軸対称

R=π のとき、

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} 2X^2 - 1 & 2XY & 2XZ & 0 \\ 2XY & 2Y^2 - 1 & 2YZ & 0 \\ 2XZ & 2YZ & 2Z^2 - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$